N進法


このレッスンではN進法を学びます。
10進法、2進法、16進法、60進法などいろいろあり、それらをまとめてN進法と呼びます。

スライドはスマホで見る場合スライドしていただくこともできますし、キーボードの左右のボタンを利用していただくこともできます。

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数字の表し方について知ろう

N進法は数字を表すときのルールを決めるものです。このページで一緒に学んでいきましょう。

N進法の例

N進法の「N」には、その時々によって違う数字が入ります。例えば、私たちが普段使っている数字。これらはほとんどが10進法で表されています。10進法以外では、スライドにあるように2進法や60進法などがあります。例を見てみましょう。

  • 2進法・・・・コンピュータ
  • 3進法・・・・フィート
  • 12進法・・・インチ, ダース
  • 24進法・・・時間
  • 60進法・・・秒, 分
  • 100進法・・世紀

コンピュータの中ではすべてが2進法で計算し処理されています。コンピュータは「0と1の世界」とよく言われますが、これは2進法であるために、0と1以外の数字が処理中は出てこないからです。
長さの単位である「フィート」や「インチ」は、「3フィートで1ヤード」、「12インチで1フィート」となります。
数え方の単位である「ダース」は、12個で1ダースと数えます。36本の鉛筆なら、3ダースですね。
「24時間」は1日に変換できるので、24進法です。対して、「秒」と「分」は60集まると上の位にあがるため60進法と言えます。100年ごとに「世紀」は1進みますから、「世紀」は100進法ですね。
今例として挙げたもの以外にもまだまだたくさんあります。N進法を学ぶ初歩として、身近なものを探してみると面白いでしょう。

2進法の数字

10進法の数字と2進法の数字ではどのように数が増えていくのか、もう一度見てみましょう。

10進法012345678910
2進法0011011100101110111100010011010

2進法の増え方が新鮮に見えますね。初めて見られた方はこのような数字の表し方があるのかと驚かれた方もいるのではないでしょうか。
注目していただきたいのは、位の増え方です。10進法ではすべての位が9になると位が増えるのに対し、2進法ではすべての位が1になったら新しい位が増えます。下の位から1がどんどん押し出されているようにして増えていくのです。

N進法の表し方

数字が10進法以外のN進法であることを表したいときは、数字の右下に小さく(N)と書くことが多いです。例えば、101(2)といった感じですね。

N進法→10進法

では、N進法の数字を10進法に変えていく練習をしてみましょう。
そのためには、一旦10進法→10進法でやり方を学んでおくのがよいので、10進法について先に詳しく見ていきます。

例1)843
各位ごとの数を算出します。算出の仕方はこんなかんじです。

  • 一の位・・・\(\times 10^0\)
  • 十の位・・・\(\times 10^1\)
  • 百の位・・・\(\times 10^2\)

なので、843は分解すると以下のようにできます。
$$3 \times 10^0 = 3\\
4 \times 10^1 = 40\\
8 \times 10^2 = 800$$
0乗の答えは0ではなく1となります。間違えないよう注意しましょう。
各位での計算結果を合計すれば、元の843になります。

例2)10011(2)を10進法に直しましょう。
今度は、2進法の数字を10進法に変えてみましょう。
先ほどの例と同じように、各位を分解していきます。
$$1 \times 2^0 = 1\\
1 \times 2^1 = 2\\
0 \times 2^2 = 0\\
0 \times 2^3 = 0\\
1 \times 2^4 = 16$$
これらを合計すると19となります。

10進法→N進法

反対に、10進法の数字をN進法に直したいときは、数字をNで割りきれなくなるまで割り続けます。そのときにでる余りを順番に並べたものが答えとなります。

例3)10進法の19を2進法に直しましょう

例2でおこなったN進法→10進法の答えから例3の問題を作ってみました。例2と逆変換することになるので、答えは10011となるはずです。実際にやってみましょう。

$$19 \div 2 = 9あまり1\\
9 \div 2 = 4あまり1\\
4 \div 2 = 2あまり0\\
2 \div 2 = 1あまり0\\
1 \div 2 = 0あまり1$$

ここまでできたら、順番に並べます。後から出てきた余りを大きい位から配置します。10011となりましたか?最後に並べる操作で順番を間違えないようにしましょう。

N進法から別のN進法に変換する問題が出た場合は、まずN進法を10進法に変換させてから10進法変えましょう。

N進法のまとめ

N進法は、数字を数える基準をどの数字にするか、どの数時になったら次の位に進むかということです。スライドやこの記事でもご紹介したように、日常生活の様々な場面で使われています。N進法から10進法に変換したり、逆に10進法からN進法に変換できるようになりましょう。

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